第735章宇宙

『令數以此道相加：兩數之和，其左集為每數之左部與另一數之和，同理右集成於右部，依其類分。』

『康威證得，萬數加零，其和不變。夜去晝來，是為第三日。』

萬物混沌蒼茫，從空集之中無中生有創造諸數。

雖然這些數的定義與皮亞諾公理完全不一樣，但後繼數的有序概念卻是類似的。

從最初的零開始，在數的邊界處不停地創造新的數，最終創造出所有的整數。

但僅有這種後繼關係並不完善，康威在第三日定義了這種新規則下數的加法運算。

或許表面上和皮亞諾公理看起來一樣，但這些數的本質定義卻是完全不同的。

這種規則下的每一個數都是一對數集，數的大小有序性和無縫連續的數軸上每一個點的左右關係是彼此對應的。

「左部與另一數之和，右部與另一數之和？」

阿基里斯蹲在這塊貌不驚人的黑色大石頭前，一手撐著下巴注視着上面的雕文，另一隻手的食指將沙灘上柔軟細膩的沙子推開，在沙灘上留下一道道痕迹。

「兩個數分別是x和y，x=，y=，其中大寫的x和Y代表的是定義數的數集。」

「根據這塊石碑上定義的加法運算規則，x+y=u丨U」

「…好複雜。」

阿基里斯轉頭看向沙灘上用手指寫下的這一堆符號，接着又抬起頭看向身旁的燒烤架。

一隻長得很別緻的棘皮動物在烤架上面掙扎扭動，黃褐色的觸手在赤紅色的火焰中滋滋作響，長著近似於人類眼球的頭部區域發出驚恐的哀嚎聲：

「偉大尊貴的未知存在，吾願意成為您永生永世的僕人，請您務必不要吃掉我！」

看起來長得像個沒腦子的混亂生物，真到了要被人當做盤中食物吃掉之時還是很有求生欲的嘛。

「不行，你太蠢了。」

李恆搖了搖頭，輕輕吹了口氣，赤紅色的火焰就將這隻長得像是棘皮動物的怪物徹底烤熟。

他聞了聞這隻奇怪的小生物散發的香味，抬頭看向蹲在石碑前的阿基里斯笑着道：

「如果這些公理規則也能像是吃東西一樣輕鬆簡單就好了。」

「把複雜的運轉過程都交給自己的身體細胞，將這些公理規則的力量交給身體本能的直覺，自己的主觀意識只需要認知其中想要知道的那部分。」

「燒烤架上的這隻小東西就是一隻這樣的生物。」

「單純以力量而論，它身體內部容納著不可數無限集合的力量，包含了定義全體實數的公理規則。」

「這些公理規則創造了無數的宇宙與文明眾生，構成了一個能與實數集形成一一對應的龐大世界。」

「你我一路上所見的畢達哥拉斯、康托爾等等，甚至於現在的你和你眼中見到的這個我，都可以在它的體內世界中找到。」

「但這隻蠢東西的腦子並不理解自己身體擁有的力量，只掌握了草履蟲一樣簡單的本能。」

「偷懶的想法是人之常情，我並不覺得這有什麼不好，能輕鬆簡單一些，沒必要去掌握那些複雜的東西。」

「但是，注意，我這裏說的是人。」

李恆從這隻被烤熟的奇異生物的身體上摘下一塊塞入口中，露出了那口鋒利雪白的尖銳牙齒。

除了頭髮的顏色和眼睛的顏色，這一口鯊魚般的鋒利牙齒是他和阿基里斯的外貌最大的不同之處。

「有限的凡人在我眼中智慧並無高下之別，無論是縱橫宇宙的文明級生命體還是只能進行簡單生命活動的草履蟲，都是圖靈度為0的笨蛋。」

「我可以允許有限的凡人用一顆普通，甚至可以說是愚蠢的大腦，掌握長生不死、破滅星河，生滅宇宙的力量。」

「但我不允許這顆愚蠢的大腦跨過有限和無限的屏障，掌握無限領域無中生有的力量。」

「既然想要做個無知的凡人，那就做好自己的定位，明白自己擁有的一切都來自於自然世界，是無限的宇宙賦予了自己這一切。」

這種想法一如既往。

在沒有涉及到無限領域的時候，他以人類社會中常用的「智能水平」作為基礎，把智慧生物的智力水平進行量化。

那些龐大的文明級生命體天然就擁有更多的權力，就像是人比貓狗更聰明，所以天然就擁有動物所沒有的人權一樣。

但到了無限領域，過往這些有限生靈的差異在無限的壁障面前就什麼都不是了。

牙齒微微用力，李恆將口中的食物碾得粉碎，吞下血肉之中容納的公理規則與無數宇宙。

就像是以前吞吃其他東西一樣，一切進到他體內的食物都像是進入了一個無底洞中，化為了微不可見的無窮小的物體。

比起會因為吸入物質而變大、變重的黑洞，這種表現才更像是理想中的黑洞與奇點。

李恆抬起頭，露出一個和善的笑容：

「我不喜歡世間存在像是這隻蠢東西一樣，明明智慧並不比自己體內宇宙的紙片人更高，卻高高在上的做着無所不能的神。」

「人就是人，不能竊取無限的神的力量和權力。」

「想要成為神，那就必須放棄凡人孱弱的思想，徹底踏入那個無限的世界。」

「這一點對你當然也不會例外。」

人類社會中的法律不會允許螞蟻的權力凌駕於人類的權力之上。

強大與弱小、聰明與愚蠢的差異客觀存在，階級層次也客觀存在。

只不過在他的眼裏，沒有人類社會那麼多複雜的層次劃分，世間一切有限的凡人都是一無所有的窮鬼。

如果想要以有限的思想掌握無限的力量，那就會像是燒烤架上這隻長得很別緻的蠢東西一樣被他整個吞掉。

阿基里斯一點也不在意這種恐嚇，只是淡定地努了努嘴道：

「那隻別緻的小東西給我留一點，我把這塊大石頭上寫的規則弄明白了就過來吃。」

她轉過頭，重新將注意力集中在大石頭記錄的加法規則上。

「每一個數本質上是一對互斥的集合，那麼將兩個數相加，就是將對應的集合相加。」

「對於集合論來說，加法就是兩個集合的並集…」

「嗯，找個例子看看。」

「1+1，1=」

「按照這個加法規則，1+1得到的新數左部是數集。」

「0+1得到的左部是，0+0得到0，所以左集就是。」

「至於右部，兩個數的右集都是空集，所以結果依舊是空集。」

「1+1=，這個數無疑就是2。」

「按照這個規則，從空集中創造出了0和1，還可以定義一個在0和1之間的數a=。」

「用加法計算a+a，新的數是。」

「a這個數是在第3日創造的，這一日在a和1+a之間，只有第2日創造的唯一的一個數1。」

「2a=1，a=1\/2。」

「1\/2，-1\/2，2，-2，這四個數都是在第三天誕生的。」

每一個數誕生的先後順序很重要，後續的數只能以前面誕生的數為基礎進行創造。

最開始的第一天只有無中生有的0，第二天創造了1，-1，第三天創造了2，-2，1\/2，-1\/2。

很好，這樣就把第三天的規則弄明白了。

『令負數之集為原數另集之負數所成，令減去一數等於加其負數。』

『康威證得，減法為加法之逆。夜去晝來，是為第四日。』

「加法之後是減法，減去一數就是加上負數，這個簡單。」

阿基里斯看着海灘上的數軸，上面的數字在她的指尖下一個個誕生。

它們按照被創造出來的時間和大小有序排列，看起來就和普通的實數軸沒什麼太大區別。

「1-1，1=，-1=。」

「兩者相加，得到的新數是…咦？」

阿基里斯突然眨了眨眼睛，粉色的瞳孔中閃過一絲驚奇的色彩。

她一直以為這種新的規則只是在實數的基礎上增加了無限大數和無窮小數。

但她這時卻發現，只是涉及到減法的時候，好像就有一些與常識中不太一樣的地方出現了。

在普通的標準分析中，1-1=0是毫無疑問的正確結論，一個數減去其自身當然就是等於0。

按照這種新的定義規則，1-1得到的數。

但0卻被定義為。

在這種全新的定義規則下，一個數減去自身的結果不是嚴格等於0。

一手撐著下巴仔仔細細地重新回顧了一遍石碑上的雕文，阿基里斯若有所思地道：

「原來如此，這上面寫的不是不是小於等於，而是小於或相似於。」

「在標準分析的數學中，x≤y且y≤x，就能推出x=y，兩個數是嚴格的相等。」

「但在這種新的規則下，這個前提卻並不能得到同樣的結論。」

「這樣的話，除了0以外，一個數減去自身並不等於0，不能用＝符號，只能用這個『≡』相似於的符號。」

她發現自己似乎想的有些太簡單了，以為這種新的定義規則只是為了應對無限大數。

雖然引入這一規則主要目的就是為了能定義那些涉及到實無限的數，但全新的基本規則顯然也會改變原來常識中的有限數。

比如這個在實數範圍內並沒有的所謂相似於「≡」的性質。

阿基里斯一直想着用這種新的規則去創造熟悉的數，整數、分數等等。

她卻忘了這種規則下的數與自己過往常識中認知的數根本不是一回事。

回頭重新看去，許多被她下意識忽略掉的新數也都不一樣了。

比如和這兩個數，它們同樣出現在第三日，在1和-1被創造出來之後誕生。

根據石頭上的規則，這兩個數均滿足x≤0且0≤x，但定義它們的數集卻與0不一樣。

類似的，還有，等等數也都能滿足這個條件。

更準確的說法應該是相似於，用符號≡表示。

0隻有唯一的一個，但相似於0的數卻有無限多個。

不過目前看起來這種差別也並不太大。

至於，它不滿足康威的第一條規則「左集中沒有一個元素大於或等於右集中的元素」，所以它不是一個數。

目光聚焦在第一條規則上，阿基里斯突發奇想地道：

「如果不遵循第一條定義數的規則，比如創造一個，這東西又會有些什麼樣的性質？」

這肯定不是一個數，它左集中的元素比右集中的元素還要大，在數軸上根本不可能找到它。

但它又可以與其他的數比大小。

根據第二條規則，甲數小於或等於乙數，當且僅當甲數之左集中無一大於或等於乙數，且乙數之右集中無一小於或等於甲數。

將與其他的數比較，比如2=。

甲數的左集最大元素是1，小於乙數2，乙數2的右集是，不小於或等於甲數。

於是就能得到＜2的結論。

明明是在數軸上完全找不到的數，卻能與普通的數比較大小。

這種數未必就完全沒有意義了。

它和常規的數的關係可能就像是負數和正數、無理數和有理數、虛數和實數的關係一樣。

負數看起來沒有什麼對應之物，無理數這種不成比例的量完全只是想像，虛數更是完全不符合常識。

但這些純粹存在於想像中的概念，說不定就能在哪個地方用上。

仔仔細細看了一遍石頭上的規則，阿基里斯轉頭看向不遠處的燒烤架問道：

「根據石頭上的這些規則，我似乎無法創造出1\/3這樣的分數？」

既然這種全新的公理規則是實數域的擴張，那應該包含了所有的實數才對。

第一天是0，第二天是±1，第三天是±1\/2，±2，第四天是1\/4，3\/4，3\/2，3以及各自的負數。

到了第n天，總共創造出了2^n-1個數。

用這種規則創造分數的方式就好像是芝諾的二分法一樣，用新出現的數作為刀刃去切割數軸，得到更多的數。

「只是二進位和十進位的區別罷了。」

李恆將烤架上僅剩下了一條觸手的小生物扔給了蹲在石頭前面的阿基里斯。

「康威創造數的方式就像芝諾的二分法，使用的其實是二進位，當然只會出現1\/2、1\/4、1\/8這樣的分數。」

「但這種區別僅在有限的世界有用。」

「你現在創造的二進位數，都只是數位有限的二進位數。」

「想一想1\/3的二進位表示，再想一想0.99…，你覺得這些尚未出現的分數會在哪一天出現？」

1\/3的二進位表示？

阿基里斯一手接過那條香噴噴的觸鬚，張嘴咬了一口，另一隻手的指尖在腳下的沙灘上劃過。

1\/3=0.0…，這是一個無限循環小數。

「無窮？實無窮？」

是了，第n天創造出了第2^n-1個數字，那麼如果n取0，最終就創造出了2^0個數。

這些尚未出現的十進位分數會在那一日與實數中的那些不可定義數一同誕生。

也是在這一刻，阿基里斯發現石頭上顯現出了新的雕文。

『萬數創生，無窮日逝，而宇宙現形。夜去晝來，是為第日。』

在第日，康威創造出了全體實數，一個不可數無限的龐大數字宇宙。