第736章玄極

第日，全體實數在這一天同時誕生，構成了一個體量為不可數無限的宇宙。

標準分析中用於定義實數的方法是戴德金分割，用兩個有限的有理數之間的空隙去定義實數。

按照康威創造的規則，定義1\/3的兩個數集分別是左集，右集取。

其中0.01是分數1\/4，0.1則是分數1\/2。

左右兩個數集中的每一個數都是二進位下的分數，就像是切割那根萬世不竭的木棍一樣，不斷地將數軸分割成兩半。

隨着無止盡的切割，兩個集合中的數越來越多，數軸剩餘的長度則越來越短。

最終在無窮次步驟過後，左集和右集中都包含了無限個數，創造出了1\/3。

類似的，根號2和π等無理數也可以用這種方式定義。

這種處理方式與康托爾處理實數的方式如出一轍。

在研究實數集合時，為了保證每一個數都有唯一的寫法，康托爾將1、0.5這類數字都表示成了0.999…、0.4999…等等與無理數一致的形式。

「好熟悉的感覺。」

阿基里斯低頭看了看掛在自己胸前的粉白色螺旋鑰匙。

康威創造實數宇宙的過程就像是一台芝諾機。

第一天花費了1秒，創造了2個數字。

第二天花費了1\/2秒，創造了4個數字。

第3天花費了1\/4秒，創造了8個數字。

但普通的芝諾機只能處理一個無窮序列。

康威創造的實數宇宙是芝諾機的升級版，應該稱它是二星芝諾機。

到這裏為止，這種用兩個數集定義一個數的規則並不會比普通的規則多出什麼新的有趣之處，反而顯得多此一舉，極為麻煩。

「日，實數誕生，宇宙現形。」

「但康威卻並沒有就此停下。」

阿基里斯注視着石頭上顯現出來的規則，在這條規則的下方還有未盡之語。

『后出一無窮數，不及玄極。逝日無窮，由是無窮亦高下有序也。』

所謂玄極，指的就是無窮。

不及玄極，也就是比無窮大更小，但卻仍舊是無窮的數。

在普通集合論公理規則定義的基數和序數中，並不存在這樣的數。

「超實數，用這種新的規則可以定義原本只能用基數和序數衡量的無限大數？」

在標準的數學體系中，差別最大的就是有限與無限。

自然數、有理數、實數，雖然它們本身的元素數量都是無限的，甚至還分為可數無限和不可數無限兩種類型。

但這兩種無限都只能使用集合論的方式來描述，用基數和序數衡量，與人類日常使用的數之間沒有關係。

無論是基數運算中的0+0=0、0x0=0，還是序數運算中的1+＝w

兩者的運算方式對於普通的有限數而言都顯得很奇怪。

無限就像是一個幽靈，無論是無窮大還是無窮小，都遊離在人類常識的世界之外。

「在遇到無限的時候，用一對互斥的數集定義一個數的方式就顯得有意思起來了。」

李恆來到了這塊記錄着公理規則的漆黑大石頭前。

「1\/3這個數是由兩個數集定義的，並且它們都是包含了可數無限個元素的無窮集合。」

「既然可以用兩個包含了無限個元素的無窮集合定義一個實數，那當然也可以把其他的無窮集合取作左集和右集。」

「比如說，在左集中放入全體自然數，創造一個比所有的自然數都更大的數。」

有了這種用兩個集合定義一個數的基本規則，無限大數就是一個顯而易見的結果。

在第日，康威不僅創造出了全體實數，同時還創造出了不在實數域中的超實數。

無限大數w=

左集是全體自然數的集合，右集是虛無的空集。

以及與無限大同時誕生的負無限大。

－w=

這裏的w不同於用同樣的符號表示的超窮序數，而是一個可以進行普通加減運算的具體的數，就像是1、2等等自然數一樣。

全新的數軸向著左右兩側無限延伸。

這種延伸比普通實數域的潛無限範圍更遠，它在混沌虛無中開闢了全新的世界，一直延伸到了實無限的世界中。

毫無疑問，超實數構成的數軸遠比實數軸要更長。

如果說可觀測宇宙中普通的宇宙大爆炸只是宇宙永無止盡的永恆暴脹留下的一絲微不足道的殘影。

那麼康威從混沌蒼茫中創造數字的第日所發生的事情則是遠遠凌駕於此上的更高層次的宇宙大爆炸。

有了無窮大數，無窮小數自然也就同時誕生了。

取右集為，將全體自然數的倒數作為右部，左集取，就能得到一個小於一切正實數，卻又不為0的無窮小數e。

類似地，將右集取，或者等等，同樣可以得到無窮小數，存在無窮多種不同的選取方法。

全體實數、無窮大數w、無窮小數e，它們都在同一天誕生。

但第日並不是終點，只是一個開始。

在創造無限大數w的下一日，誕生了比無限大數更大的數。

w+1=

它可以化簡為

w+1≡

這個數比w更大，它在數軸上位於w這個數的右側。

以及一個比無限大數w小，卻又大於所有整數的數。

w-1≡

這個新數在普通的集合論公理規則定義的超窮序數中是不存在的。

在這套全新的規則里，無限大數可以像是普通的數一樣隨意進行加減運算。

通過這種方法，可以得到無窮多個小於無窮大w的無限大數。

w-2≡

w-3≡

它們就是康威所說的不及玄極的無窮數。

時間繼續向前流逝，又過去日以後，到達了第2日。

這一日誕生了2=

以及w+e，w-e這類數字。

每一個數本質上都是一對數集，每一個實數都能在無限次計算后得到精確數值。

w和e都是由可數無窮集合進行定義的數。

想要計算出這兩個數的和與差，需要進行2次可數無窮計算。

「原來如此。」

「石板上所說的第幾日實際上指的是第幾次計算步驟。」

「w這個無限大數需要w次計算步驟才能得到，e這個無限小數同樣需要w次計算步驟才能得到。」

所以這些由兩個無窮數構成的數字都是在第2日才會誕生。

在這一日還誕生了π+e，π-e等等存在於兩個實數的縫隙之間，與標準的實數相差一個無窮小量的超實數。

李恆蹲下身體，從沙灘上抓起一把白色沙子，看着它們從指縫之間緩緩落下。

「我們現在所在的世界是在0～1之間的實無窮小區域，準確地說，是在數軸上0.99…到1之間的區域。」

「物體直觀的體型大小不重要，重要的是它們包含的信息量。」

「在量子比特海洋中，具有不同最小空間尺度的宇宙天差地別，同等大小的物體容納的信息量天差地別。」

「無窮大和無窮小是同等的複雜，具備同等強大的力量。」

「康威給每一個數字賦予了一個精確的生日，它表示了想要具體計算出一個數的困難程度。」

「有理數在有限的時間內誕生，它們可以在有限的計算步驟后得到精確結果。」

「實數在第日誕生，這些實數幾乎都是不可計算的數。」

「但這種不可計算只是對於有限的人類而言，任意實數都能用w次計算得到精確的結果。」

「不過，有很多數字比單個實數更複雜。」

「比如兩個不可計算數之和，就需要經過兩輪w次計算才能得到精確結果。」

「在超實數域中，數軸上還有着無窮多個不能用w次計算得到精確結果的數，也就是那些在日之後才誕生的數。」

「這個隱藏在0.99…和1之間的無窮小世界的空間尺度是以實無窮小e計量的，任意空間區域裏都容納了無限的信息量。」

「生靈在這裏的每一次邁步、每一次思考，都必須完成無窮次計算。」

「沒有一具容納著無窮力量的身體，在這個世界裏連存在都做不到。」

在無法超脫時間複製洪流，受制於熱力學第二定律的物質宇宙中，每一個比特信息量的變化都存在E=ktln2的等式關係。

這一點在絕對零度的無限世界中不再成立，但這不意味着「運動」、「變化」就沒有消耗了。

運動與變化的本質是複製，是無中生有的力量創造的新事物。

一個存在於實數間隙之中的實無窮小世界，這裏的空間是由那些在日以後才誕生的超實數構成的。

能在這裏存在的事物，至少也擁有無窮的力量，無論是沙灘上的白沙，還是海邊的燒烤架。

「聽起來似乎和之前牛頓與萊布尼茨所在的無窮小世界差不多？」

阿基里斯眨了眨眼睛回道。

但她心裏知道，兩個世界其實是不一樣的。

之前的那個無窮小世界是潛無窮小世界。

構成那裏空間的數是簡單的無限，是那些可以被壓縮，演演算法複雜度有限的簡單的無理數。

這裏的空間卻是由不可被壓縮、不可具體認知的超實數構成的。

無論是包含了w還是包含了e的數，它們的複雜度都不會比實數中的那些不可計算數更低。

所以，她現在看到的陽光、沙灘和大海都只是她眼中的錯覺，是她那顆簡單的大腦與它承載的孱弱思維所能認知的幻夢。

她現在能站在這片沙灘上也不是因為什麼星球的引力作用，而是源於那些她根本無法認知的規則。

這裏比她之前所在的那個混沌世界還要更奇詭，更隨機，更未知。

她能在這個世界裏活着，只是因為胸前這台二星芝諾機賦予她的不可數無限的力量。

這份力量過濾了這個世界裏無處不在的，有着無限重量的沉重信息。

「還是有很大差別的。」

「在之前那個潛無窮小世界中，即使每一寸空間內都藏着無限的信息量和能量，但那裏的物體依舊只是屬於可數無限的範圍。」

「但在這個比實數更稠密的超實數世界裏，任意小的空間里都藏着不可數無限的信息量。」

劉維爾數集是個零測集，在數軸上佔據了大小為零的區域，但卻是能與構成實數一一對應的不可數無限集合。

與此類似的，在這個超實數世界裏的一粒沙子、一滴海水、一粒灰塵，都能與實數集一一對應。

雖然構成這個世界的基本元素仍舊只是可數無限的數，但在這裏的一切物體，無論直觀的體型是大是小，體內都容納著不可數無限數量的基本元素。

「零測集？」

阿基里斯立刻反應了過來。

「如果引入了無限大數和無限小數，這種結論應該就不準確了吧？」

「仔細想想就覺得很奇怪，概率為0的事件不一定不會發生，這種說法聽起來就覺得有些不對勁。」

「還有，有限、可數無限、不可數無限，彼此之間天差地別，卻都在實數軸上佔據了長度為0的區域。」

「我覺得這些說法都很奇怪。」

「在普通的數學體系中不能使用n\/∞=0這個等式，因為會得到∞x0可以等於任意實數的荒謬結果。」

「所以我覺得把這些不同的事件統一稱作概率為零也不準確。」

李恆點點頭道：

「說得沒錯。」

第一種情形，在一個無限不循環的無理數中找到一個特定的有限數，概率為零。

第二種情形，在一個由全體可計算數構成的集合中找到某一個特定的有限數，概率為零。

第三種情形，尋找一個特定的有限數，但將尋找的範圍擴大到由全體實數構成的實數軸，結果還是概率為零。

明明事件實現的難度應該完全不同，卻把這三種情形統一稱作概率為零。

李恆尋找最初那個阿基里斯所在的小世界就比上述這三種情形都要困難得多。

就算是不可數無限的力量都不足以找到那個被隱藏起來的小世界。

信息量最初的定義源於對驚奇度的衡量。

一個事件發生的可能性越低，包含的信息量就越多。

反過來也可以說，想要實現某一個特定事件，需要的信息量越多，事件發生的概率就越低。

在超實數域中，引入了e和w這兩個數以後，在一個無理數中找到某一個特定有限數的概率不是0，而是實無窮小。